Eat, Study, and Pray: Matematika

Tampilkan postingan dengan label Matematika. Tampilkan semua postingan

Kamis, 12 Juli 2012

Persamaan Eksponen

a^f(x)= a^g(x) => f(x) = g(x)
a^f(x)= b^g(x) => f(x) = g(x) = 0

Pertidaksamaan eksponen

 a^f(x)=a^g(x) => f(x) = g(x)

f(x) > g(x), jika a>1

f(x) < g(x), jika 0<a<1

Mengeluarkan Akar

Lain-lain

 Soal ini kadangkala muncul di soal SNMPTN. Nah, berikut ini tipsnya:

Untuk +++... (seperti rumus di atas), cari faktor a  yang terbesar

Untuk ----...., cari faktor a yang terkecil.

Contoh:

Selamat belajar!!!

Eksponen atau yang disebut juga perpangkatan, adalah lawan dari logaritma. Jadi, untuk bisa mengerti tentang logaritma, kalian juga harus mengerti tentang eksponen.
Nah, saya jelaskan (sebenarnya co-pas dari wikipedia sih, soalnya malas mengetik pangkat2 gitu :D) secara singkat saja dan mendasar.

Eksponen adalah perkalian yang diulang-ulang. Orang menulis eksponen dengan indeks di atas, yang akan terlihat sebagai berikut: $x^y$ . Terkadang hal itu tak mungkin. Kemudian orang menulis eksponen menggunakan tanda ^: 2^3 berarti $2^3$ .
Bilangan $x$ disebut bilangan pokok, dan bilangan $y$ disebut eksponen. Sebagai contoh, pada $2^3$ , 2 adalah bilangan pokok dan 3 eksponen.
Untuk menghitung $2^3$ seseorang harus mengalikan 3 kali terhadap angka 2. Sehingga $2^3=2 \cdot 2 \cdot 2$ . Hasilnya adalah $2 \cdot 2 \cdot 2=8$ . Apa yang dikatakan persamaan bisa juga dikatakan dengan cara ini: 2 pangkat 3 sama dengan 8.
Contoh:

$5^3=5\cdot{} 5\cdot{} 5=125$
$x^2=x\cdot{} x$
$1^x = 1$ untuk setiap bilangan x

Jika eksponen sama dengan 2, maka disebut persegi karena area persegi dihitung menggunakan $a^2$ . Sehingga

$x^2$ adalah persegi dari $x$

Jika eksponen sama dengan 3, maka disebut kubik karena volume kubus dihitung dengan $a^3$ . Sehingga

$x^3$ adalah kubik $x$

Jika eksponen sama dengan -1 orang harus menghitung inversi bilangan pokok. Sehingga: $x^{-1}=\frac{1}{x}$ Jika eksponen adalah integral dan kurang dari 0, orang harus membalik bilangan dan menghitung pangkat. Sebagai contoh:

$2^{-3}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$

Jika eksponen sama dengan $\frac{1}{2}$ hasilnya adalah akar persegi bilangan pokok. Sehingga $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}.$ Contoh:

$4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$

Dengan cara yang sama, jika eksponen $\frac{1}{n}$ hasilnya adalah akar ke-n, sehingga:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Jika eksponen merupakan bilangan rasional $\frac{p}{q}$ , hasilnya adalah akar ke-q bilangan pokok yang dipangkatkan p, sehingga:

$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}$

Eksponen bisa juga tak rasional. Untuk menjadikan bilangan pokok a menjadi pangkat ke-x yang tak rasional, kita menggunakan rangkaian ketidakterhinggaan bilangan rasional (x_i), yang limitnya adalah x:

$x=\lim_{n\to\infty}x_n$

seperti ini: $a^x=\lim_{n\to\infty}a^{x_n}$
Ada beberapa aturan yang membantu menghitung pangkat:

$\left(a\cdot b\right)^n = a^n\cdot{}b^n$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad b\neq 0$
$a^r \cdot{} a^s = a^{r+s}$
$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},\quad a\neq 0$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n},\quad a\neq 0$
$\left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}$
$a^0 = 1,\quad a\neq 0$ : Bila bilangan pokok lebih besar daripada 1 dan eksponen 0, jawabannya 1. Jika bilangan pokok dan pangkat sama dengan 0, jawabannya tak terdefinisikan.

Ekponen matriks bisa pula dihitung. Matriks itu harus persegi. Sebagai contoh:

$I^2=I \cdot I=I$

Logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari eksponen. Sebenarnya bab ini mudah dan menyenangkan untuk dipelajari. Nah, berikut ini rumus-rumus dasar dalam logaritma.


a^c = b → ª log b = c

a = basis
b = bilangan yang dilogaritma
c = hasil logaritma
Sifat-sifat Logaritma
ª log a = 1
ª log 1 = 0
ª log aⁿ = n
ª log bⁿ = n • ª log b
ª log b • c = ª log b + ª log c
ª log ^b/c = ª log b – ª log c
ªˆⁿ log b ^m = ^m/n • ª log b
ª log b = 1 ÷ ^b log a
ª log b • ^b log c • ^c log d = ª log d
ª log b = ^c log b ÷ ^c log a

Nah, sekarang penjelasannya...

a pada ª log b adalah basis. ª log b bisa juga ditulis log_ab. Basis yang sering dipakai adalah 10, e≈ 2.71828... dan 2.. Untuk basis 10, sering ditulis log x saja, atau Log x. Logatitma basis e sering ditulis ln x, sedangkan untuk logaritma berbasis 2, sering ditulis ld x.

Untuk mencari nilai sebuah logaritma, mengetahui sifat-sifat logaritma sangat diperlukan. Dapat digunakan juga tabel logaritma atau kalkulator. Tetapi untuk di sekolah, pasti disuruh menghitung sendiri, ya... Hihihi >.<

Contoh Soal

Soal Simak UI tahun 2009

Misalkan x2 -2x+1 log(x +1) = p danx2 +2x+1 log(x -1) =q untuk semua x dalam

domain, maka nilai pq adalah ...

Eat, Study, and Pray

Halaman